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La demi-droite en rouge coupe l'angle en deux parties égales: il s'agit de la bissectrice de cet angle. En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un angle en deux angles égaux. Cette notion peut être généralisée en nommant ainsi la droite qui se superpose à la demi-droite Définition [ modifier | modifier le code] La bissectrice d'un angle [ 1] le partage en deux secteurs angulaires superposables. C'est une demi-droite issue du sommet du secteur angulaire. L'axe de symétrie d'un secteur angulaire porte sa bissectrice. Démonstration Si A, B et I sont trois points non alignés, on note B' le symétrique de B par rapport à la droite (AI). Comme A est sur l'axe de symétrie, AB = AB'. Le triangle BAB' est donc isocèle de sommet A. Par construction, (AI) est un axe de symétrie du triangle. La symétrie axiale préserve les angles:. Dans mon cartable. [AI) est donc la bissectrice de l'angle en A. D'un coup de compas, on peut toujours faire apparaître un triangle isocèle dans un secteur angulaire.
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Il en va de même pour les autres couples de bissectrices. Par hypothèse, les angles zOy et yOx sont supplémentaires: zOy + yOx = 180°. Donc uOv = uOy + yOv = 1 / 2 xOy + 1 / 2 yOz = 1 / 2 ( xOy + yOz) = 90°. CQFD Si u et v sont deux vecteurs unitaires dirigeant respectivement les droites D et D', alors u+v et u-v dirigent les axes de symétrie de la réunion. On obtient ainsi la notion de bissectrice de deux droites affines sécantes sans passer par le point de vue naïf des angles géométriques. Le produit scalaire ( u+v)•( u-v) est nul comme u et u sont unitaires: les deux bissectrices sont orthogonales. ▷ Reproduire des figures pour les CM2. Bissectrices de deux droites et faisceaux harmoniques [ 3] — Si D et D' sont deux droites sécantes et Δ, Δ' sont leurs bissectrices alors D, D', Δ et forment un faisceau harmonique. Si D, D', Δ et Δ' forment un faisceau harmonique et si Δ et Δ' sont perpendiculaires alors Δ et Δ' sont les bissectrices de D et D' Bissectrices d'un triangle [ modifier | modifier le code] Cercles inscrit et exinscrits à un triangle — Dans un triangle: Les bissectrices intérieures sont concourantes, leur point d'intersection étant le centre du cercle inscrit dans le triangle.
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Un cercle centré au point de concours et tangent à un côté sera tangent aux deux autres (appliquer le corollaire du théorème de la bissectrice (bis)). Théorème — Dans un triangle ABC avec I sur [AB], la droite (CI) est la bissectrice intérieure issue de C si et seulement si. Une preuve par le théorème de Thalès est donnée dans la page sur les divisions harmoniques. Le calcul de deux manières des aires des triangles CAI et CBI donne une autre démonstration élémentaire. On peut alors calculer les longueurs des segments que la bissectrice intérieure issue de C découpe sur le côté opposé:. On obtient: et. Soit encore avec les notations classiques: et. Construction géométrique cm2 imprimer st. Applications On utilise extensivement la caractérisation précédente de la bissectrice dans l'étude du problème d'Apollonius: lieu des M tels que MA/MB = k. Avec cette caractérisation de la bissectrice, on retrouve aisément la bissectrice d'un angle MFN, où M et N sont deux points sur une ellipse (plus généralement, conique propre) de foyer F et de directrice D et la construction de la tangente en un point d'une conique.
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