Equation Diffusion Thermique Examples
°C); le gradient de température est une grandeur vectorielle indiquant la façon dont la température varie dans l'espace, exprimée en °C/m. Autres transferts de chaleur Pour un système solide, seul ce processus de transfert par conduction est possible. Equation diffusion thermique.com. Pour un système fluide (liquide ou gazeux) il peut aussi se produire des transferts d'énergie par transport de matière, ce processus est appelé convection de la chaleur. Calcul de déperditions dans l'application de la loi de Fourier Cette loi est utilisée pour le calcul des consommations de chauffage d'un bâtiment. Plus précisément, pour le calcul des déperditions à travers les parois du bâtiment. Simplification du gradient de température Pour calculer le flux de chaleur et donc les déperditions à travers une paroi, comme par exemple le mur d'une maison, on va simplifier l'équation de fourrier, vue ci-dessus. Ainsi, on exprimera le gradient de température de la façon suivante: Introduction de la résistance thermique Pour faciliter le calcul, en particulier dans le cas de paroi composée de plusieurs matériaux (ce qui est le cas la plupart du temps), les thermiciens ont créé la notion de résistance thermique symbolisée « R ».
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1. Équation de diffusion Soit une fonction u(x, t) représentant la température dans un problème de diffusion thermique, ou la concentration pour un problème de diffusion de particules. L'équation de diffusion est: où D est le coefficient de diffusion et s(x, t) représente une source, par exemple une source thermique provenant d'un phénomène de dissipation. On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x, t) donnée, sur l'intervalle [0, 1], à partir de l'instant t=0. La condition initiale est u(x, 0). Sur les bords ( x=0 et x=1) la condition limite est soit de type Dirichlet: soit de type Neumann (dérivée imposée): 2. Méthode des différences finies 2. a. Définitions Soit N le nombre de points dans l'intervalle [0, 1]. On définit le pas de x par On définit aussi le pas du temps. Méthode. La discrétisation de u(x, t) est définie par: où j est un indice variant de 0 à N-1 et n un indice positif ou nul représentant le temps. Figure pleine page La discrétisation du terme de source est On pose 2. b. Schéma explicite Pour discrétiser l'équation de diffusion, on peut écrire la différence finie en utilisant les instants n et n+1 pour la dérivée temporelle, et la différence finie à l'instant n pour la dérivée spatiale: Avec ce schéma, on peut calculer les U j n+1 à l'instant n+1 connaissant tous les U j n à l'instant n, de manière explicite.
Ces problèmes sont mal posés et ne peuvent être résolus qu'en imposant une contrainte de régularisation de la solution. Généralisations [ modifier | modifier le code] L'équation de la chaleur se généralise naturellement: dans pour n quelconque; sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l' opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien. Notes et références [ modifier | modifier le code] Notes [ modifier | modifier le code] ↑ Si le milieu est homogène sa conductivité est une simple fonction de la température,. Alors elle ne dépend de l'espace que via les variations spatiales de la température:. Si dépend très peu de (), alors elle dépend aussi très peu de l'espace. Références [ modifier | modifier le code] ↑ Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, connu à travers un abrégé paru en 1808 sous la signature de Siméon Denis Poisson dans le Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris, t. Loi de Fourier : définition et calcul de déperditions - Ooreka. I, p. 112-116, n°6.