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Exercice 1: Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^x$. Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$. Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ dans un repère. Exercice 16 sur les fonctions (seconde). 2: Dans chaque cas, $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$. Étudier le signe de $f''(x)$ sur $I$. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion. $f''(x) = \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{(x-1)^3}$ $\rm I =]1~;~+\infty[$ $f''(x) = (-0, 08x+0, 4)\mathrm{e}^{0, 2x-3}$ $\rm I = \mathbb{R}$ $f''(x) = (4x-10)\sqrt{5x+2}$ $\rm I =]0~;~+\infty[$ 3: $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$. Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$. Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la fonction $f$.

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Démontrez-le. $1$. En déduire que pour tout réel $x>0$, $ \ln x \leqslant x-1$. 7: Étudier la convexité d'une fonction - logarithme Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = (\ln (x))^2$. Étudier la convexité de $f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative 8: Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité - Nathan Hyperbole $g$ est la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Rappeler la convexité de la fonction $g$. Exercice fonction carré d'art. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$, puis le nombre dérivé $g'(1)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse Utiliser les réponses aux questions précédentes pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$, on a $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.

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Cinquième chapitre: la montée en compétence du consultant. échanger biens et services innovants dans la ville de demain 5eme Ce document est extrait de la base de données - Sapili méga

Chargement de l'audio en cours 1. Fonction carré, fonction racine carrée P. 120-121 La fonction carré est la fonction qui, à tout réel associe le réel Sa courbe représentative est une parabole. 1. Pour tout réel, 2. La fonction carré est paire. 3. La fonction carré est strictement décroissante sur et strictement croissante sur Remarque La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie. 1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc est positif. 2. Pour tout, donc l'image de est égale à l'image de donc la fonction carré est paire. 3. Voir exercice p. 133 Démonstration au programme Énoncé Compléter avec, ou sans calculatrice. 1. 2. 3. Exercice fonction carré viiip. 4. 5. Méthode On utilise les variations de la fonction carré: Si, car la fonction est strictement décroissante sur, l'ordre change. croissante sur, l'ordre est conservé. 3. car la fonction est paire. Pour s'entraîner: exercices 20; 28 et 29 p. 131 Pour tout réel positif, la racine carrée de est le nombre positif, noté, tel que La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif associe le réel Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie nombres et calculs page 19.

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