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Tuesday, 2 July 2024

En général, les nombres positifs s'écrivent sans signe + et sans parenthèses. (+21, 7) est un nombre positif, qui peut s'écrire 21, 7. II Addition et soustraction de nombres relatifs A Somme de deux nombres négatifs La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe -. \left(-9\right) + \left(-12\right) = - \left(9 + 12\right) = - \left(21\right) = \left(-21\right) = -21 B Somme de deux nombres relatifs de signes différents La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0. 7 + \left(-15\right) = - \left(15 - 7\right) = - \left(8\right) = \left(-8\right) = -8 La somme de deux nombres opposés est égale à 0. \left(-4\right) + \left(+4\right) = 0 C Soustraction de deux nombres relatifs Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cours sur les hommes aiment. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition. 45 - 12 = 45 + \left(-12\right) Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle: Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un +.

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Proposition: $(\mathcal L(E), +, \circ)$ est un anneau. On dit qu'une application linéaire $f:E\to F$ est un isomorphisme si elle est bijective. La fonction réciproque d'un isomorphisme est elle-même une application linéaire. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme s'appelle un automorphisme de $E$. L'ensemble des automorphismes de $E$ est noté $GL(E)$. $(GL(E), \circ)$ est un groupe. L'image directe d'un sous-espace vectoriel de $E$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $F$. L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de $F$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $E$. On appelle noyau de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E, F)$ le sous-espace vectoriel de $E$ $$\ker(f)=\{x\in E;\ f(x)=0\}. $$ Théorème: $f\in\mathcal L(E, F)$ est injective si et seulement si $\ker(f)=\{0\}$. Dividendes - La finance pour tous. On appelle image de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E, F)$ le sous-espace vectoriel de $F$ $$\imv(f)=\{f(x);\ x\in E\}. $$ Proposition: Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille génératrice de $E$, alors $\imv(f)=\textrm{vect}(f(x_i);\ i\in I\}$.

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$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Structure d'espace vectoriel On appelle espace vectoriel sur $\mathbb K$ (ou $\mathbb K$-espace vectoriel) un ensemble $E$ muni de deux lois: une loi interne, notée $+$, telle que $(E, +)$ soit un groupe commutatif. L'élément nul est noté $0_E$. une loi externe, notée $\cdot$, qui est une application de $\mathbb K\times E$ dans $E$ vérifiant: $\forall (\alpha, \beta)\in\mathbb K^2, \ \forall x\in E, \ (\alpha+\beta)\cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x$. $\forall \alpha\in\mathbb K, \ \forall (x, y)\in E^2, \ \alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$. $\forall (\alpha, \beta)\in\mathbb K^2, \ \forall x\in E, \ \alpha\cdot(\beta\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$. $\forall x\in E, \ 1\cdot x=x$. Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs et les éléments de $\mathbb K$ sont appelés des scalaires. Résumé de cours : Généralités sur les espaces vectoriels. Exemples: $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)$ sont des espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A, \mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi un espace vectoriel.